Le Van Thao gui dang tren www.vnmath.com

CHƯƠNG I MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ
1.1. Tính đơn điệu của hàm số
A. Lý Thuyết: Hàm số đơn điệu: - Cho hàm số f xác định trên khoảng K, trong đó K là một khoảng , đoạn hoặc nửa khoảng. * f đồng biến trên K nếu với mọi
* f nghịch biến trên K nếu với mọi
- Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Khi đó : * Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì
* Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì

- Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Định lý 1: Định lý về giá trị trung bình của phép vi phân ( Định lý Lagrange) Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại ít nhất một điểm
sao cho f(b)-f(a)=f`( c) ( b-a) Định lý 2:
1) Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I * Nếu
và
chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến trên I. * Nếu
và
chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số nghịch biến trên I. * Nếu
thì hàm số f không đổi trên I 2) Giả sử hàm số f liên tục trên nửa khoảng [a,b) và có đạo hàm trên khoảng (a,b). * Nếu
với mọi
thì hàm số f đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên nửa khoảng [a,b) * Nếu
với mọi
thì hàm số f không đổi trên nửa khoảng [a,b) B. Bài Tập : Bài tập1: Chứng minh rằng với mọi
phương trình
có một nghiệm duy nhất thuộc đoạn
Bài giải: Xét hàm số
liên tục trên đoạn
Ta có
Vì sinx > 0 nên
Hàm số đồng biến trên đoạn
và nghịch biến trên đoạn
* Hàm số f liên tục trên đoạn
, ta có
, nên phương trình cho không có nghiệm
* Hàm số f liên tục trên đoạn
ta có
. Theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục ( lớp 11) , với mọi
, tồn tại một số thực
sao cho f( c) = 0 , vậy c là nghiệm phương trình , đồng thời hàm số f nghịch biến trên đoạn
nên phương trình có nghiệm duy nhất Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc
Bài tập 2: Tìm m để hàm số sau đồng biến trên R
Bài giải:
Để hàm số đồng biến trên R thì
*
!/ m = -2 thì
không thỏa !!/ m = 0 thì
đúng
. Vậy m = 0 thỏa *
, khi đó để
thì

Vậy
hàm số đổng biến trên R Bài tập 3: Cho hàm số :
. Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 5 Bài giải : * Tập xác định : D = R *
*
, khi đó phương trình y ` = 0 có hai nghiệm phân biệt
Để hàm số luôn nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 5 thì
thỏa mãn
m = hehe!!!
Bài tập 4:Với giá trị nào của m thì hàm số
luôn luôn đồng biến? Bài giải: * Tập xác định D = R * y’ = (2m + 3)cosx + (2 - m) = (2m + 3)t + (2 - m) = f(t) ; với

* Để hàm số đồng biến trên D thì

Bài tập 5:Cho hàm số
. Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng D =
Bài giải:

Để hàm số đồng biến trong khoảng
PP1:
(**)
Ta có:
, do đó
PP2: * m = 0 khi đó Vậy m = 0 ( loại ) *

!/ Hàm số đồng biến trên R khi


Do đó với
thì hàm số cũng đồng biến trong khoảng
!!/ Giả sử
thì pt y`=0 có hai nghiệm phân biệt
Hàm số đồng biến trong khoảng
khi ta có hệ:


Kết hợp các trường hợp được giá trị m cần tìm Bài tập 1 1/Định m để hàm số
luôn luôn nghịch biến ?. 2/Định m để hàm số
luôn luôn đồng biến ?. 3/ Định m để hàm số
luôn luôn giảm 4/ Cho hàm số
. Tìm m để